Нахождение расстояния между двумя точками. Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения Нахождение расстояния между двумя точками

Согласно общепринятому положению, за начальный принят меридиан, который проходит через старую Гринвичскую обсерваторию в Гринвиче. Географические координаты местоположения можно получить с помощью GPS-навигатора. Этот прибор получает сигналы спутниковой системы позиционирования в системе координат WGS-84, единой для всего мира.

Модели навигаторов различаются по производителям, функционалу и интерфейсу. В настоящее время встроенные GPS-навигаторы имеются и в некоторых моделях сотовых телефонов. Но любая модель может записать и сохранить координаты точки.

Расстояние между координатами GPS

Для примера можно определить расстояние между следующими координатами: точка №1 - широта 55°45′07″ с.ш., долгота 37°36′56″ в.д.; точка №2 - широта 58°00′02″ с.ш., долгота 102°39′42″ в.д.

Наиболее простой способ - воспользоваться -калькулятором для расчета протяженности между двумя точками. В поисковике браузера необходимо задать следующие параметры для поиска: онлайн- для расчета расстояния между двумя координатами. В онлайн-калькуляторе вводятся значения широт и долгот в поля запросов для первой и второй координаты. При расчете онлайн-калькулятор выдал результат – 3 800 619 м.

Следующий способ более трудоемкий, но и более наглядный. Необходимо воспользоваться любой доступной картографической или навигационной программой. К программам, в которых можно создать точки по координатам и измерить расстояния между ними, относятся следующие приложения: BaseCamp (современный аналог программы MapSource), «Google Планета Земля», «SAS.Планета».

Все вышеперечисленные программы доступны для любого пользователя сети. К примеру, для расчета расстояния между двумя координатами в программе «Google Планета Земля» необходимо создать две метки с указанием координат первой точки и второй точки. Затем при помощи инструмента «Линейка» нужно соединить линией первую и вторую метки, программа автоматически выдаст результат промера и покажет путь на спутниковом снимке Земли.

В случае с примером, приведенным выше, программа «Google Планета Земля» выдала результат – протяженность расстояния между точкой №1 и точкой №2 составляет 3 817 353 м.

Почему возникает погрешность при определении расстояния

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

3. Расстояние между двумя точками.

Мы с вами умеем теперь говорить о точках на языке чисел. Например, нам уже нет необходимости объяснять: возьмите точку, находящуюся на три единицы правее оси и на пять единиц ниже оси . Достаточно сказать просто: возьмите точку .

Мы говорили уже, что это создает определенные преимущества. Так, мы можем рисунок, составленный из точек, передать по телеграфу, сообщить его вычислительной машине, которая совсем не понимает чертежей, а числа понимает хорошо.

В предыдущем пункте мы задали при помощи соотношений между числами некоторые множества точек на плоскости. Теперь попробуем последовательно переводить на язык чисел другие геометрические понятия и факты.

Мы начнем с простой и обычной задачи.

Найти расстояние между двумя точками плоскости.

Решение:
Как всегда, мы считаем, что точки заданы своими координатами, и тогда наша задача состоит в том, чтобы найти правило, по которому можно вычислить расстояние между точками, зная их координаты. При выводе этого правила, конечно, разрешается прибегать к чертежу, но само правило не должно содержать никаких ссылок на чертеж, а должно только показывать, какие действия и в каком порядке надо совершать над данными числами - координатами точек, чтобы получить искомое число - расстояние между точками.

Быть может, некоторым из читателей этот подход к решению задачи покажется странным и надуманным. Чего проще, скажут они, точки заданы, пусть даже координатами. Нарисуйте эти точки, возьмите линейку и измерьте расстояние между ними.

Этот способ иногда не так уж плох. Однако представьте себе опять, что вы имеете дело с вычислительной машиной. В ней нет линейки, и она не рисует, но зато считать она умеет настолько быстро, что это для неё вообще не составляет никакой проблемы. Заметьте, что наша задача поставлена так, чтобы правило вычисления расстояния между двумя точками состояло из команд, которые может выполнить машина.

Поставленную задачу лучше сначала решить для частного случая, когда одна из данных точек лежит в начале координат. Начните с нескольких числовых примеров: найдите расстояние от начала координат точек ; и .

Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Теперь напишите общую формулу для вычисления расстояния точки от начала координат.

Расстояние точки от начала координат определяется по формуле:

Очевидно, правило, выражаемое этой формулой, удовлетворяет поставленным выше условиям. В частности, им можно пользоваться при вычислении на машинах, которые способны умножать числа, складывать их и извлекать квадратные корни.

Теперь решим общую задачу

Даны две точки плоскости и найти расстояние между ними.

Решение:
Обозначим через , , , проекции точек и на оси координат.

Точку пересечения прямых и обозначим буквой . Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора получаем:

Но длина отрезка равна длине отрезка . Точки и , лежат на оси и имеют соответственно координаты и . Согласно формуле, полученной в п. 3 параграфа 2, расстояние между ними равно .

Аналогично рассуждая, получим, что длина отрезка равна . Подставляя найденные значения и в формулу получаем.

Теорема 1. Для любых двух точек иплоскости расстояниемежду ними выражается формулой:

Например, если даны точки и, то расстояние между ними:

2. Площадь треугольника.

Теорема 2. Для любых точек

, не лежащих на одной прямой, площадь треугольника выражается формулой:

Например, найдем площадь треугольника, образованного точками ,и.

Замечание. Если площадь треугольника равна нулю, это означает, что точки лежат на одной прямой.

3. Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок и пусть

–любая точка этого отрезка, отличная от точек концов. Число , определенное равенством, называетсяотношением, в котором точка делит отрезок.

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению и данным координатам точек

и найти координаты точки.

Теорема 3. Если точка делит отрезок в отношении

, то координаты этой точки определяются формулами: (1.3), где– координаты точки,– координаты точки.

Следствие: Если – середина отрезка

, где и, то(1.4) (т.к.).

Например. Даны точки и. Найти координаты точки, которая в два раза ближе к, чем к

Решение: Искомая точка делит отрезок

в отношении так как, тогда,, получили

Полярные координаты

Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки , называемойполюсом , и исходящего из нее луча –полярной оси . Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть – произвольная точка плоскости. Пусть – расстояние от точки

до точки ;– угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом.

Полярными координатами точки называются числаи. При этом числосчитается первой координатой и называетсяполярным радиусом , число – второй координатой и называетсяполярным углом.

Обозначается . Полярный радиус может иметь любое неотрицательное значение:. Обычно считают, что полярный угол изменяется в следующих пределах:. Однако в ряде случаев приходится определять углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.

Будем считать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть – в прямоугольной системе координат и– в полярной системе координат. Определен– прямоугольный треугольник с. Тогда(1.5). Эти формулы выражают прямоугольные координаты через полярные.

С другой стороны, по теореме Пифагора и

(1.6) – эти формулы, выражают полярные координаты через прямоугольные.

Заметим, что формула определяет два значения полярного угла, так как. Из этих двух значений углавыбирают тот, при котором удовлетворяются равенства.

Например, найдем полярные координаты точки ..или, т.к.I четверти.

Пример 1: Найти точку, симметричную точке

Относительно биссектрисы первого координатного угла.

Решение:

Проведем через точку А прямую l 1 , перпендикулярную биссектрисе l первого координатного угла. Пусть . На прямой l 1 отложим отрезок СА 1 , равный отрезку АС. Прямоугольные треугольники АСО и А 1 СО равны между собой (по двум катетам). Отсюда следует, что |ОА | = |OA 1 |. Треугольники ADO и ОЕА 1 также равны между собой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что |AD | = |ОЕ| = 4, |OD| = |EA 1 | = 2, т.е. точка имеет координаты х = 4, у = -2, т.е. А 1 (4;-2).

Отметим, что имеет место общее утверждение: точка A 1 , симметричная точке относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, имеет координаты , то есть.

Пример 2: Найти точку, в которой прямая, проходящая через точки и , пересечет ось Ох.

Решение:

Координаты искомой точки С есть (x ; 0). А так как точки А , В и С лежат на одной прямой, то должно выполняться условие (x 2 -x 1 )(y 3 -y 1 )-(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 ) = 0 (формула (1.2), площадь треугольника ABC равна нулю!), где – координаты точки А , – точкиВ , – точкиС . Получаем , т.е., , . Следовательно, точка С имеет координаты ,, т.е..

Пример 3: В полярной системе координат заданы точки ,. Найти:а) расстояние между точками и; б) площадь треугольника ОМ 1 М 2 (О – полюс).

Решение:

а) Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5):

то есть, .

б) пользуясь формулой для площади треугольника со сторонами а и b и углом между ними (), находим площадь треугольника ОМ 1 М 2 . .

Расстояние от точки до точки - это длина отрезка, соединяющего эти точки, в заданном масштабе. Таким образом, когда речь идет об измерении расстояния, то требуется знать масштаб (единицу длины), в котором будут проводиться измерения. Поэтому, задачу нахождения расстояния от точки до точки обычно рассматривают либо на координатной прямой, либо в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве. Другими словами, наиболее часто приходится вычислять расстояние между точками по их координатам.

В этой статье мы, во-первых, напомним, как определяется расстояние от точки до точки на координатной прямой. Далее получим формулы для вычисления расстояния между двумя точками плоскости или пространства по заданным координатам. В заключении, подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой.

Давайте для начала определимся с обозначениями. Расстояние от точки А до точки В будем обозначать как .

Отсюда можно заключить, что расстояние от точки А с координатой до точки В с координатой равно модулю разности координат , то есть, при любом расположении точек на координатной прямой.

Расстояние от точки до точки на плоскости, формула.

Получим формулу для вычисления расстояния между точками и , заданными в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

В зависимости от расположения точек А и В возможны следующие варианты.

Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю.

Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс, то точки и совпадают, а расстояние равно расстоянию . В предыдущем пункте мы выяснили, что расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому, . Следовательно, .

Аналогично, если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат, то расстояние от точки А до точки В находится как .

В этом случае треугольник АВС – прямоугольный по построению, причем и . По теореме Пифагора мы можем записать равенство , откуда .

Обобщим все полученные результаты: расстояние от точки до точки на плоскости находится через координаты точек по формуле .

Полученную формулу для нахождения расстояния между точками, можно использовать когда точки А и В совпадают или лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Действительно, если А и В совпадают, то . Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ох , то . Если А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Оу , то .

Расстояние между точками в пространстве, формула.

Введем прямоугольную систему координат Оxyz в пространстве. Получим формулу для нахождения расстояния от точки до точки .

В общем случае, точки А и В не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные координатным осям Ох , Оу и Oz . Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями дадут нам проекции точек А и В на эти оси. Обозначим проекции .

Искомое расстояние между точками А и В представляет собой диагональ прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке. По построению, измерения этого параллелепипеда равны и . В курсе геометрии средней школы было доказано, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, поэтому, . Опираясь на информацию первого раздела этой статьи, мы можем записать следующие равенства , следовательно,

откуда получаем формулу для нахождения расстояния между точками в пространстве .

Эта формула также справедлива, если точки А и В

• совпадают;
• принадлежат одной из координатных осей или прямой, параллельной одной из координатных осей;
• принадлежат одной из координатных плоскостей или плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.

Нахождение расстояния от точки до точки, примеры и решения.

Итак, мы получили формулы для нахождения расстояния между двумя точками координатной прямой, плоскости и трехмерного пространства. Пришло время рассмотреть решения характерных примеров.

Число задач, при решении которых конечным этапом является нахождение расстояния между двумя точками по их координатам, поистине огромно. Полный обзор таких примеров выходит за рамки данной статьи. Здесь мы ограничимся примерами, в которых известны координаты двух точек и требуется вычислить расстояние между ними.

Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.

Приступая к решению задач по теме , учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.

Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х А; у А) и В(х В; у В), выполняется по формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) , где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.

Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х М; у М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х М 2 + у М 2).

1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек

Пример 1 .

Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).

Решение.

В условии задачи дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 и у В = 3. Найти d.

Применив формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), получим:

d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек

Пример 2.

Найти координаты точки О 1 , которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что О 1 А = О 1 В = О 1 С. Пусть искомая точка О 1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) найдем:

О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);

О 1 В = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);

О 1 С = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

Составим систему из двух уравнений:

{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Упростив, запишем

{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.

Решив систему, получим: а = 2; b = -1.

Точка О 1 (2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2) .

3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки

Пример 3.

Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.

Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).

АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).

Получаем уравнение √((а + 5) 2 + 36) = 10. Упростив его, имеем

а 2 + 10а – 39 = 0.

Корни этого уравнения а 1 = -13; а 2 = 3.

Получаем две точки А 1 (-13; 0) и А 2 (3; 0).

Проверка:

А 1 В = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

А 2 В = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).

4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек

Пример 4.

Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).

Решение.

Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О 1 (0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О 1 А = О 1 В.

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:

О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

О 1 В = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Имеем уравнение √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .

После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.

Необходимая по условию задачи точка О 1 (0; 4) (рис. 4).

5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки

Пример 5.

Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).

Решение.

Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р 1 и Р 2 (рис. 5) . Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.

Из условия задачи следует, что МА = МР 1 = МР 2 , МР 1 = а; МР 2 = |-a|,

т.е. |-a| = а.

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:

МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).

Составим уравнение:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

После возведения в квадрат и упрощения имеем: а 2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а 1 = 1; а 2 = 5.

Получаем две точки М 1 (-1; 1) и М 2 (-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.

6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки

Пример 6.

Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.

Решение.

Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) имеем:

МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Составим уравнение:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Упростив его, получим: b 2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b 1 = 2; b 2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М 1 (5; 2) и М 2 (5; 10).

Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.

Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.